最短路径问题

作者: 时间:2020-07-16 分类:L优生活 评论:25 条 浏览:611


在数学III的直线单元中有这样的问题:在坐标平面上,给定两点 \(A\) 与 \(B\),以及一直线 \(L\),想要在 \(L\) 上找一点 \(P\),使得 \(\overline{PA}+\overline{PB}\) 有最小值。这个 \(P\) 点要怎幺找呢?我们先把 \(L\) 特殊化,从 \(x\) 轴上的点来考虑。

例题1
坐标平面上给定两点 \(A(1,3),B(5,-1)\)。
在 \(x\) 轴上找一点 \(P\),使得 \(\overline{PA}+\overline{PB}\) 有最小值,\(P\) 点坐标为何?

最短路径问题
解:如图,\(A,B\) 在 \(x\) 轴的异侧。
由于两点连线会与 \(x\) 轴相交,且两点间直线距离最近,
因此当 \(P\) 点为 \(\overline{AB}\) 与 \(x\) 轴的交点时,此时 \(\overline{PA}+\overline{PB}\) 有最小值。
因为 \(\overleftrightarrow{AB}\) 的方程式为 \(x+y=4\),故与 \(x\) 轴的交点为 \(P(4,0)\),
此时所求最小值为 \(\overline{AB}=4\sqrt{2}\)。
由例题1可知,当 \(A,B\) 在所给直线 \(L\) 的异侧时,
所要找的 \(P\) 点即为 \(\overleftrightarrow{AB}\) 与 \(L\) 的交点。
那幺当 \(A,B\) 都在 \(L\) 的同侧时,要如何找到 \(P\) 点呢?

例题2
坐标平面上给定两点 \(A(1,3),B(5,-1)\)。
在 \(x\) 轴上找一点 \(P\),使得 \(\overline{PA}+\overline{PB}\) 有最小值,\(P\) 点坐标为何?

最短路径问题

解:如图,\(A,B\) 在 \(x\) 轴的同侧。
由例题1知道当两点在异侧时,只要考虑这两点的连线与 \(x\) 轴的交点即可。
因此考虑作 \(B\) 点对 \(x\) 轴的对称点 \(B'(5,1)\),
此时 \(A\) 与 \(B’\) 在 \(x\) 轴的异侧,连接 \(\overleftrightarrow{AB’}\),与 \(x\) 轴交于 \(P\) 点。
此时因为 \(\overline{PB}=\overline{PB’}\),因此 \(\overline{PA}+\overline{PB}=\overline{PA}+\overline{PB’}=\overline{AB’}\)。
而在 \(x\) 轴上的任一点 \(P’\),因为 \(\overline{P’B}=\overline{P’B’}\),
因此 \(\overline {P’A}+\overline {P’B} = \overline {P’A} + \overline {P’B’}\ge\overline {AB’}=\overline{PA} +\overline{PB}\)
亦即此时的 \(P\) 点为 \(x\) 轴上使得 \(\overline{PA}+\overline{PB}\) 有最小值的点。
因为 \(\overleftrightarrow{AB’}\) 的方程式为 \(x+y=4\),故与 \(x\) 轴的交点为 \(P(4,0)\),
此时所求最小值为 \(\overline{AB’}=4\sqrt{2}\)。

由例题2可知,当给定的两点 \(A,B\) 在直线 \(L\) 的同侧时,
只要先找 \(B\) 点对 \(L\) 的对称点 \(B’\) (找 \(A\) 点对 \(L\) 的对称点 \(A’\) 亦可),连接 \(\overleftrightarrow{AB’}\),
与直线 \(L\) 的交点 \(P\) 即为所求之点,此时 \(\overline{PA}+\overline{PB}\) 的最小值为 \(\overline{AB’}\)。

例题3
坐标平面上给定两点 \(A(3,1),B(1,2)\)。
在直线 \(L:x+2y=0\) 上找一点 \(P\),使得 \(\overline{PA}+\overline{PB}\) 有最小值,\(P\) 点坐标为何?

最短路径问题

解:

最短路径问题

接下来我们换个角度从物理来看例题3的问题。
在例题3解法的图中,
因为 \(B’\) 为 \(B\) 对 \(L\) 的对称点,
因此 \(\angle BPC=\angle CPB’=\angle APD=\theta\),
因此过 \(P\) 点作 \(L\) 的垂直线 \(\overleftrightarrow{QP}\),
可得 \(\angle BPQ=\angle QPA=\alpha\)。
由此可知,若有一光经过 \(B\) 点射向 \(L\) 时,
会由 \(P\) 点反射经过 \(A\) 点。
但是由光学性质知道,
光在行进时会依最省时路径前进,
亦即由 \(B\) 点射向 \(L\),反射经过 \(A\) 点之光的行进路线,
会选择直线 \(L\)上 使得 \(\overline{PA}+\overline{PB}\) 有最小值的 \(P\) 点作为反射点。
同时,由于 \(A,P,B’\) 三点共线,也可知反射线(\(\overleftrightarrow{AP}\))会经过 \(B\) 点的对称点 \(B’\)。

用这样的角度看例题3,同样的解法却可以换个问题情境来问,如例题4。

例题4
有一光线过点 \(B(1,2)\),射到直线 \(L:x+2y=0\) 上一点 \(P\),反射后经过 \(A(3,1)\),
试求 \(\overline{PA}+\overline{PB}\) 之值。

最短路径问题
解:先求 \(B\) 点对 \(L\) 的对称点 \(B’\),坐标为 \(B'(-1,-2)\),此时 \(P\) 点为 \(\overleftrightarrow{AB’}\) 与 \(L\) 的交点,\(\overline{PA}+\overline{PB}=\overline{PA}+\overline{PB’}=\overline{AB’}=5\)

在问题情境中的光的反射,亦可改成粒子的碰撞反射,观念是一样的。

例题5
在撞球桌面上设立坐标系统,以檯边为两坐标轴,一球从坐标平面上的点 \(A(2,6)\) 打出,
碰到 \(x\) 轴的檯边 \(P\) 点再折向撞击到 \(B\) 球,已知 \(B\) 球坐标为 \((7,4)\),则 \(P\) 点坐标为何?

最短路径问题

解:先求得 \(A(2,6)\) 对 \(x\) 轴的对称点 \(A'(2,-6)\),连 \(\overleftrightarrow{A’B}\),方程式为 \(2x-y=10\),
\(\overleftrightarrow{A’B}\) 与 \(x\) 轴的交点 \(P\) 即为所求,\(P\) 点坐标为 \((5,0)\)。

最后,这一系列问题也可在空间坐标中来探讨,只是情境中的直线变成空间中的平面而已,
亦即问题可改为:「在空间坐标中,给定两点 \(A\) 与 \(B\)以及一平面 \(E\),想要在 \(E\) 上找一点 \(P\),使得 \(\overline{PA}+\overline{PB}\)有最小值」,它的观念与想法都是一样的。

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